Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (2a). La recta que une los focos es el eje real y la mediatriz es el eje imaginario. El centro es el punto medio y los cortes con los ejes son los vértices.
Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la separación entre los focos y a las distancias desde un punto de la hipérbola a ambos focos se les conoce como radios vectores.
También intervienen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b). Ambos determinan las ecuaciones canónicas: (x2/a2) - (y2/b2) = 1 cuando la hipérbola se abre horizontalmente y (y2/a2) - (x2/b2) = 1 cuando se abre verticalmente. El valor de c se calcula mediante la relación c2 = a2 + b2 y representa la distancia del centro a cada foco.
Asíntotas y simetrías
Las ramas de la hipérbola nunca cruzan dos rectas llamadas asíntotas, aunque se acercan indefinidamente a ellas. En la forma horizontal las asíntotas son y = (b/a)x y y = -(b/a)x, trasladadas si el centro no está en el origen. Dibujarlas primero ayuda a esbozar la curva con precisión y resalta la simetría respecto a los ejes que pasan por el centro.
Ejemplo: si a = 3 y b = 4, entonces c = 5, por lo que los focos se ubican en (5,0) y (-5,0). La ecuación es (x2/9) - (y2/16) = 1 y las asíntotas y = (4/3)x y y = -(4/3)x. Con esta información puedes construir una tabla de valores y graficar ambas ramas en tu cuaderno.
Construcción
Dibuja una circunferencia sobre una hoja de acetato y un punto fuera de ella. Dobla la hoja de modo que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto marcado y desdobla. Repite con distintos puntos: las marcas formarán la hipérbola. El punto dibujado es un foco y el centro de la circunferencia es el otro foco.
Otra forma consiste en unir dos conos por el vértice y cortar de base a base; el contorno del corte es una hipérbola.
Para un taller escolar puedes clavar dos tachuelas que representen los focos sobre una cartulina, atar una cuerda para marcar la diferencia de distancias y deslizar un lápiz manteniendo la cuerda tensa en todo momento, logrando una hipérbola precisa. Practicar el procedimiento refuerza la idea de que la curva está formada por dos ramas separadas.
Aplicaciones
La hipérbola tiene propiedades de reflexión similares a la elipse. Un haz dirigido hacia un foco se refleja en dirección del otro, lo que se aprovecha en telescopios Cassegrain y sistemas de navegación como loran (long range navigation).
En física se estudia la hipérbola equilátera xy = k, relacionada con funciones inversas y con la representación de movimientos a velocidad constante en diagramas espacio-tiempo. En matemática financiera, la relación inversa entre oferta y demanda puede modelarse con hipérbolas para analizar cómo cambian los precios cuando varían las cantidades disponibles.
También aparecen en la navegación satelital LORAN y en la triangulación de señales GPS: la diferencia de tiempos en la recepción de ondas es constante sobre hipérbolas, por lo que identificar la intersección de varias curvas permite ubicar con precisión una embarcación o un avión.
Rectángulo fundamental y orientación
En la forma canónica horizontal, los segmentos de longitud 2a y 2b sobre los ejes construyen el rectángulo fundamental. Al trazar sus diagonales se obtienen las asíntotas, lo que facilita esbozar la curva sin necesidad de tablas largas. Si el eje real es vertical, simplemente rotamos el rectángulo para que 2a quede sobre el eje y y 2b sobre el eje x. Esta herramienta visual es ideal para estudiantes que prefieren apoyarse en figuras antes que en ecuaciones.
Recuerda que los vértices siempre se ubican a distancia a del centro sobre el eje real, mientras que los focos se colocan a distancia c, con c2 = a2 + b2. Mantener estas distancias en un diagrama a escala evita errores al copiar gráficas o al construir maquetas tridimensionales con cartón y palitos de madera.
Modelo paramétrico
Una hipérbola horizontal puede describirse con x = a sec t y y = b tan t, donde t representa un ángulo agudo. Sustituir los valores en la ecuación canónica demuestra que la identidad trigonométrica sec2t - tan2t = 1 cumple la definición de la curva. Para la versión vertical se intercambian las funciones: x = b tan t y y = a sec t. Estas expresiones resultan útiles cuando se programa una gráfica o se anima la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la hipérbola.
En cursos más avanzados también se emplean funciones hiperbólicas como x = a cosh u y y = b sinh u, pero en secundaria basta con las relaciones trigonométricas tradicionales. El objetivo principal es que el alumnado reconozca que hay muchas maneras de describir la misma figura y que todas se conectan con la definición por distancias a los focos.
Retos para el aula
1) Construye el rectángulo fundamental para a = 2 y b = 3, dibuja las asíntotas y localiza focos y vértices. 2) Investiga cómo se emplean hipérbolas en micrófonos paraboloidales combinados con superficies hiperbólicas. 3) Mide la diferencia de distancias desde un punto cualquiera de tu dibujo hasta los focos y verifica que sea constante. 4) Explica en pocas líneas por qué las ramas nunca se cierran. Estos ejercicios consolidan la intuición geométrica y fomentan la explicación con palabras propias.