Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal y la mediatriz de los mismos, eje secundario. Los puntos donde corta los ejes son los vértices, el punto medio es el centro y la distancia entre focos se denomina distancia focal.
Para obtener una forma simple de la ecuación se colocan los focos sobre el eje x en los puntos (-c,0) y (c,0). Si la suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es 2a, entonces la ecuación queda (x2/a2) + (y2/b2) = 1.
En esa ecuación, a representa el semieje mayor (la mitad del eje más largo) y b el semieje menor. La relación c2 = a2 - b2 fija la posición de los focos, mientras que la excentricidad e = c/a indica cuán estirada está la curva: e = 0 produce un círculo y valores cercanos a 1 generan elipses muy alargadas. Comprender estos parámetros facilita la lectura de planos y diagramas astronómicos.
Ejemplo: si a = 5 y b = 3, entonces c = 4 y los focos se ubican en (-4,0) y (4,0). Sustituye coordenadas sencillas, como x = 0 o y = 0, para obtener puntos notables y dibujar la elipse en tu cuaderno. El procedimiento es el mismo cuando el eje mayor se orienta verticalmente; basta intercambiar los papeles de x y y.
Construcción
Dibuja una circunferencia sobre una hoja de acetato y un punto en su interior. Dobla la hoja de tal manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto interior y desdobla. Repite con diferentes puntos para que las marcas de los dobleces formen la elipse: el punto interior es un foco y el centro de la circunferencia el otro.
Otra forma consiste en cortar un cono de unicel con un plano que atraviese ambos lados sin llegar a la base. Mientras más paralelo sea el corte a la base, menor excentricidad tendrá la elipse.
Una actividad clásica consiste en fijar dos chinchetas (focos) sobre una cartulina, atar un hilo de longitud 2a alrededor de ellas y deslizar un lápiz manteniendo el hilo tenso. El resultado es una elipse uniforme. Modificar la longitud del hilo o la separación de los focos permite comparar cómo cambian a, b y e.
Aplicaciones
La elipse tiene propiedades de reflexión similares a las de la parábola: una fuente ubicada en un foco concentrará las ondas en el otro foco. Las órbitas planetarias son elípticas con el Sol en uno de los focos.
En ingeniería civil, los techos elipsoidales mejoran la acústica porque el sonido emitido en un foco llega al otro con gran claridad. En medicina, los litotriptores enfocan ondas de choque para romper cálculos renales aprovechando esta misma propiedad. En deportes, numerosas pistas de atletismo y canchas de patinaje combinan arcos elípticos para facilitar giros suaves.
En medicina se usa un litotriptor para desintegrar cálculos renales mediante ondas intra-acuáticas de choque: un generador se coloca en un foco del elipsoide lleno de agua y el otro foco se alinea con el cálculo a destruir. También existen capillas con techos elipsoidales donde dos personas ubicadas en cada foco pueden escucharse claramente mientras otras no perciben la conversación.
En astronomía, Kepler demostró que los planetas siguen elipses con el Sol en un foco, y hoy sabemos que los satélites artificiales también lo hacen. En diseño automotriz, las luces delanteras emplean reflectores elípticos para canalizar la energía luminosa. Analizar estas aplicaciones conecta el aula con la vida diaria y motiva a seguir explorando.
Área y perímetro
El área de una elipse se calcula con la fórmula A = πab, donde a y b son los semiejes mayor y menor. Para estimar el perímetro se usa la aproximación propuesta por Ramanujan: P ≈ π[3(a + b) - √((3a + b)(a + 3b))]. Aunque esta expresión surge de un nivel más avanzado, permite a los estudiantes comprender que las curvas suaves pueden medirse con herramientas algebraicas asequibles.
Practica calculando el área de pistas deportivas u otras figuras del entorno escolar. Comparar los resultados con mediciones tomadas sobre planos o mapas desarrolla la habilidad de validar modelos matemáticos con datos reales.
Coordenadas paramétricas
Una manera elegante de describir la elipse es mediante x = a cos t y y = b sin t. Al variar t de 0 a 360 grados (o de 0 a 2π radianes) se recorre toda la curva sin interrupciones. Esta forma paramétrica se emplea en animaciones, impresoras 3D y programas de diseño asistido para dibujar elipses suaves sin depender de tablas largas.
Puedes introducir esas ecuaciones en una hoja de cálculo para generar una lista de puntos y luego graficarlos. Ajustar los valores de a y b mostrará cómo cambian la altura y la anchura, reforzando la comprensión de los semiejes y la excentricidad.
Actividades investigativas
1) Construye con cartón un modelo de elipse usando el método del hilo y registra fotografías del proceso. 2) Diseña un reto de lanzamiento de canicas donde debas apuntar hacia uno de los focos y observa cómo las trayectorias se reflejan. 3) Investiga y presenta un caso real donde la elipse mejore la acústica, la iluminación o la aerodinámica. Complementar la investigación con esquemas o videos cortos favorece la comprensión profunda y la comunicación científica.