La Parábola

Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

Directriz

La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco

Eje Focal

El eje focal es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.

Vertice

Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal.

Lado Recto

Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parabola(A,B).

Parámetro

La distancia entre el vertice y la directriz que es la misma denter el vertice y el focode una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

Ecuación de la Parábola

La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje x , vértice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

La ecuación para una parabola con eje focal paralelo al eje y,  vertice en (h,k) y cuya distancia al foco es p es:

Construcción

Se debe tomar una hoja de acetato en ella se dibuja un punto.Para construir la parábola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto del borde inferior coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto del borde inferior cada vez, tendrémos que las marcas de los dobleces han formado una parábola. El punto dibujado es el foco y el borde inferior de la hoja, la directriz. Otra forma de encontrar una parábola es la siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la dirección del corte debe ser desde la base del cono a cualquier punto del cono. El perímetro de este corte será una parábola.

Aplicaciones

Las aplicaciones de las parabolas son basicamente aquellos fenomenos en donde nos interesa hacer conveger o diverger un haz de luz y sonido principalmente. Por ejemplo las antenas parabolicas, las lamparas sordas, los faros de los autos. Se pueden construir, por la misma propiedad de las parabolas, hornos solares. Los microfonos de ambiente en algunos deportes tambien tienen forma paraboloidal.

Las parábolas tienen una propiedad  Si se coloca una bombilla encendida en el foco de la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en 3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergeran o convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena (blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.

En el siglo XVI Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil que se dispara al aire formando un ángulo con la horizontal es una parábola. Desde entonces, las formas parabólicas se han usado para diseñar fanales de automoviles, telescopios reflectores y puentes colgantes.

Ecuación Simple

Obtenemos una ecuación simplificada para una parábola si colocamos su vértice en el origen y su directriz paralela al eje x . Si el foco es el punto (0,p) entonces la directriz tiene la ecuación y=-p y la parábola tiene la ecuación
x² =4py.

Si escribimos a=1/(4p), entonces la ecuación de la parábola toma la forma:
y=ax².
La parábola se abre hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0. La gráfica es simétrica con respecto al eje Y, porque su ecuación no cambia cuando x se reemplaza por -x. Esto corresponde a que la función f(x)=ax² es una función par.

Si intercambiamos x y y en la ecuación y=ax², el resultado es una parábola cuya directriz es paralela al eje Y con la ecuación:
x=ay²
Este intercambio es una reflexión respecto a la diagonal y=x.  La parábola x=ay² se abre hacia la derecha si a>0 y hacia la izquierda si a <0. Para este caso la parábola es simétrica con respecto al eje x porque la ecuación no cambia cuando y es reemplazada por -y. 

Ecuación General

Si se toma al ecuación con eje focal paralelo al eje x:
(y-k)² = 4p(x-h)
resolviendo el producto, la potencia e igualando 0 , se obtiene:
y² -2ky - 4px + k² + 4ph = 0
tomando los valores constantes -2k como D , -4p como E y k² + 4ph como F se tiene:
y² + Dy + Ex + F = 0 , que es la ecuación general para una parábola con eje focal paralelo al eje x

Si se toma la ecuación con eje focal paralelo al eje y:
(x-h)² = 4p(y-k)
resolviendo el producto, la potencia e igualando 0 , se obtiene:
x² - 2hx - 4py + h² + 4pk = 0
tomando los valores constantes -2h como D , -4p como E y h² + 4pk como F se tiene:
x² + Dx + Ey + F = 0 , que es la ecuación general para una parábola con eje focal paralelo al eje y